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RMQ 一维模板

1. 概述

RMQ(Range Minimum/Maximum Query),即区间最值查询,是指这样一个问题:对于长度为n的数列A,回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n),返回数列A中下标在i,j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题,下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然,该问题也可以用线段树(也叫区间树)解决,算法复杂度为:O(N)~O(logN),这里我们暂不介绍。

2.RMQ算法

对于该问题,最容易想到的解决方案是遍历,复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时,该算法无法在有效的时间内查询出正解。

本节介绍了一种比较高效的在线算法(ST算法)解决这个问题。所谓在线算法,是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理,待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST(Sparse Table)算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法,它可以在O(nlogn)时间内进行预处理,然后在O(1)时间内回答每个查询。

(一)首先是预处理,用动态规划(DP)解决。

设A[i]是要求区间最值的数列,F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。(DP的状态)

例如:

A数列为:3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1,2]=max(3,2,4,5) = 5,F[1,3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。(DP的初始值)

这样,DP的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从 i 到i + 2 ^ (j – 1) – 1为一段,i + 2 ^ (j – 1)到i + 2 ^ j – 1为一段(长度都为2 ^ (j – 1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i,j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max(F[i,j-1], F[i + 2^(j-1),j-1])。

(二)然后是查询。

假如我们需要查询的区间为(i,j),那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i,右边界取j)的最小幂(可以重复,比如查询5,6,7,8,9,我们可以查询5678和6789)。

因为这个区间的长度为j – i + 1,所以我们可以取k=log2( j – i + 1),则有:RMQ(A, i, j)=max{F[i , k], F[ j – 2 ^ k + 1, k]}。

举例说明,要求区间[2,8]的最大值,k = log2(8 – 2 + 1)= 2,即求max(F[2, 2],F[8 – 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2],F[5, 2]);

在这里我们也需要注意一个地方,就是<<运算符和+-运算符的优先级。

比如这个表达式:5 – 1 << 2是多少?

答案是:4 * 2 * 2 = 16。所以我们要写成5 – (1 << 2)才是5-1 * 2 * 2 = 1。

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