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Poj 3667 Hotel (线段树区间合并)

题意:1 a:询问是不是有连续长度为 a 的空房间,有的话住进最左边
2 a b:将[a,a+b-1]的房间清空
思路:记录区间中最长的空房间
线段树操作:update:区间替换 query:询问满足条件的最左断点

来自某位大婶的感悟:用线段树,首先要定义好线段树的节点信息,一般看到一个问题,很难很快能确定线段树要记录的信息
做线段树不能为了做题而做,首先线段树是一种辅助结构,它是为问题而生的,因而必须具体问题具体分析
回忆一下RMQ问题,其实解决RMQ有很多方法,根本不需要用到线段树,用线段树解决RMQ,其实是利用线段树的性质来辅助解决这个问题
回忆一下求矩形面积并或周长并的问题,一般使用的是扫描线法,其实扫描线法和线段树一点关系都没有,扫描线法应该归为计算几何的算法,
使用线段树只是为了辅助实现扫描线法

因而回到这题,要解,必须分析问题本质,才去思考怎么用线段树来辅助,另外为什么能用线段树辅助是可行的,这个问题似乎更有价值

1 查询操作,找一段长度为W的没被覆盖的最左的区间
2 更新操作,将某段连续的区域清空

更新操作相对容易解决,关键是怎么实现查询操作
既然是要找一段长度至少为W的区间,要做到这点,其实不难,我们可以在每个线段树的节点里增加一个域tlen,表示该区间可用的区间的最大长度,
至于这个tlen区间的具体位置在哪里不知道,只是知道该区间内存在这么一段可用的区间,并且注意,这个tlen表示的是最大长度,该节点可能有多段可用的区间,但是最长的长度是tlen
记录了这个信息,至少能解决一个问题,就是能不能找到一个合适的区间。如果查询的区间长度W > 总区间的tlen,那么查询一定是失败的(总区间中可以的最大区间都不能满足那就肯定失败)
但这远远不够,其一查询是要返回区间的具体位置的,这里无法返回位置,另外是要查询最左区间,最左的且满足>=W的区间可能不是这个tlen区间

那么我们进一步思考这个问题
首先我们先增加两个域,llen,rlen
llen表示一个区间从最左端开始可用的且连续的最大长度
例如区间[1,5],覆盖情况为[0,0,0,1,1],llen = 3,从最左端有3格可以利用
区间[1,5],覆盖情况为[1,0,0,0,0],llen = 0,因为从最左端开始找不到1格可用的区间
rlen表示一个区间从最右端开始可用的且连续的最大长度
例如区间[1,5],覆盖情况为[1,0,1,0,0],rlen = 2,从最右端有2格可以利用
区间[1,5],覆盖情况为[0,0,0,0,1],rlen = 0,因为从最右端开始找不到1格可用的区间
对于一个区间,我们知道它左半区间的tlen,和右半区间的tlen,如果左半区间的tlen >= W ,那么我们一定能在左边找到(满足最左),所以可以深入到左半区间去确定该区间的具体位置
如果左端的不满足,那么我们要先考虑横跨两边的区间(因为要满足最左),因而记录的llen,rlen可以派上用场,一段横跨的区间,
那么是 左边区间rrlen + 右边区间llen ,如果满足的话,就是该区间了,它的位置也是可以确定的
如果横跨的区间不满足,那么就在右半区间找,如果右半区间的tlen >= W , 那么可以在右半区间找到,所以深入到右半区间去确定它的具体位置,否则的话,整个查询就失败了

可见查询是建立在tlen,llen,rlen这个信息之上的,而每次查询后其实伴随着修改,而且还有专门的修改操作,这些修改操作都会改变tlen,llen,rlen的值,所以在更新的时候是时刻维护这些信息

关于这3个信息的维护

当前区间的tlen = max{ 左半区间tlen , 右半区间tlen , 左半区间rlen+右半区间llen} (这个不难理解吧,取左右较大的那个,或者横跨中间的那个)

如果左半区间全部可以用: 当前区间llen = 左半区间llen(tlen) + 右半区间llen
左半区间部分能用: 当前区间llen = 左半区间llen

如果右半区间全部能用: 当前区间rlen = 右半区间rlen(tlen) + 左半区间rlen
右半区间部分能用: 当前区间rlen = 右半区间rlen

这样就全部维护好了

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